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a & 0&0 \\ Bonjour, Je comprends pas bien cet exercice. diagonaliser et trigonaliser (même si la trigonalisation est pas mon fort) je sais le faire mais en quoi celà aide t'il? -1& 4&3\\ Désolé, votre version d'Internet Explorer est, Dualité, Orthogonalité et transposition - supérieur. Halmos. par ailleurs, ton cas n'est pas si particulier que ça! Merci beaucoup pour vos explications. Cours & exercices de maths corrigés en vidéo, Cours et exercices corrigés en vidéo comme en classe, On ne parle de puissance de matrice $\boldsymbol{{\rm A}^n}$ que pour les, Soit A une matrice carrée et un entier $n\geqslant 1$, ${\rm I}_k$ désigne la matrice identité d'ordre $k$. Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} comment calculé la puissance n-ieme d'une matrice juste en ayant les bases du calculs matriciels (sans connaitres les espaces vectoriels, bases et dimensions etc) ? Désolé, votre version d'Internet Explorer est, Dualité, Orthogonalité et transposition - supérieur. Vérifier que les matrices $P$ et $Q$ sont inverses l'une de l'autre. tu verras, quand on s'est habitués aux autochtones (qu'on appelle des mathîliens) et à leurs manières parfois bourrues (ça c'est pour ma pomme) elle est très agréable. The inception of matrix mechanics by Heisenberg, Born and Jordan led to studying matrices with infinitely many rows and columns. Il faut te souvenir du reste dans la division euclidienne dont le degré est strictement inférieur à celui du quotient. \end{pmatrix}$ et Ce site ne convient pas aux enfants de moins de 36 mois, sauf s'ils insistent vraiment. Oui, c'est bien ça. \end{pmatrix}$, On considère les matrices triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3. Puissance d'une matrice - Spé Maths : Exercices à Imprimer. A+, Alors D est la matrice diagonale. Examen re : Matrice à la puissance n (A^n) 21-06-08 à 16:05. à merci bien pour la formule. à merci bien pour la formule. $A =\begin{pmatrix} Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3. Eisenstein further developed these notions, including the remark that, in modern parlance, matrix products are non-commutative. quand je parle de bases du calcul matriciel je veux dire les operations élémentaires sur les matrices, matrices carrées inverse, transposée, polynome caractéristique merci d'avance. [109] The Dutch Mathematician Jan de Witt represented transformations using arrays in his 1659 book Elements of Curves (1659). Savoir calculer la puissance n-ième d'une matrice A^n. 0&b & 0\\ La dernière... je vais manger, et j'y réfléchis ! Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3, Terminale [123], Two-dimensional array of numbers with specific operations, "Matrix theory" redirects here. De nombreux problèmes se résolvent à Pour geo3 : pour voir ta récurrence, écris tes matrices en décomposant en somme de trois matrices : une diagonale, une avec le terme du coin en haut à droite, et une dernière avec les deux termes restants. Si dans l'énoncé, on demande de démontrer que. et je voudrais aussi savoir s'il vous connaisez une méthode apliquable sur n'importe quel matrice pour calculer A^n avec un petit exemple :p (car bon là je suis tombé sur un cas particulier). non c'est bon merci, j'avais juste des petites difficultés sur la récurrence; C'est bizarre car j'ai cherché cette propriété très longtemps sans jamais la trouver, or elle est très utile dans ce cas particulier où pour calculer A^n, il suffit de diagonaliser la matrice, pour themax tu peu decomposer ton matrice sous la forme AI+B avec A matrice neutre par exemple puis appliquer la puissance a cette tu peu utiliser le binome de newton. (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340: However, matrices can be considered with much more general types of entries than real or complex numbers. Je vois pas d'où tu passes de l'un à l'autre et j'en ai besoin. Mathématiques Si tu as une matrice diagonalisable, tu as A=P-1DP avec P inversible et D diagonale. Pour chacun de ces sous espaces propres on connait la dimension qui égale à l'ordre de multiplicité des valeurs propres : ici toutes les valeurs propres sont d'ordre 1 donc les sous espaces propres sont de dimension 1 (et ceux dans le cas ou A est diagonalisable). Connais-tu le polynôme caractéristique et le théorème de Cayley Hamilton ? Bonsoir, le polynome caractéristique est Pcar,A(X)=det(A-XI)=(1-X)(2-X)(3-X). Pastebin is a website where you can store text online for a set period of time. *Votre code d’accès sera envoyé à cette adresse email. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 0$: ${\rm A}^n=\begin{pmatrix} > row multiplication, that is multiplying all entries of a row by a non-zero constant; row switching, that is interchanging two rows of a matrix; This page was last edited on 17 November 2020, at 20:36. De toute façon, pour avoir une idée de récurrence c'est un minimum de calculer A2 et A3, non? Mon idée est la suivante. -1& 0&0\\ Les matrices à la puissance n - Forum de mathématiques. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours ! He was instrumental in proposing a matrix concept independent of equation systems. [117] Jacobi studied "functional determinants"—later called Jacobi determinants by Sylvester—which can be used to describe geometric transformations at a local (or infinitesimal) level, see above; Kronecker's Vorlesungen über die Theorie der Determinanten[118] and Weierstrass' Zur Determinantentheorie,[119] both published in 1903, first treated determinants axiomatically, as opposed to previous more concrete approaches such as the mentioned formula of Cauchy. \end{pmatrix} $. Calculating a circuit now reduces to multiplying matrices. 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Rebonjour merci raymond oui je savais que le degré du reste < le degré du quotient mais le théorème de Cayley- Hamilton je ne connaisais pas de même que la méthode du pivot pour chercher les an ,bn, cn  mais je  vais approfondir . Sinon, sans le binôme de Newton, on peut y aller de proche en proche (récurrence) en gardant en tête A=D+J : A² = (D+J)(D+J) = D² + DJ+JD + J² : la diagonale principale est donnée par D², la diagonale supérieure par DJ+JD=2DJ, et le terme en haut à droite par J² Et la récurrence va être du type A^n=D^n+a_n DJ + b_nJ². \end{pmatrix} $. \end{pmatrix}$, On considère la matrice Les valeurs propres sont les racines de ce polynomes soit =1,2,3; ensuite on cherche les sous espaces propres correspondant E=Ker(A-I). Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer. Puissance n-ième d'une matrice diagonale d'ordre 2 ou 3. Soit D une matrice diagonale d'ordre $k$. He also showed, in 1829, that the eigenvalues of symmetric matrices are real. Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} Mathématiques Une petite récurrence ne ferait pas de mal... Quant au cas général, vaste problème... Si tu sais trianguler ou diagonaliser bien sur ça simplifie les choses. Instead, he defined operations such as addition, subtraction, multiplication, and division as transformations of those matrices and showed the associative and distributive properties held true. H_aldnoer stp, pourquoi (PDP-1)^n=PD^nP-1 ? [121] Later, von Neumann carried out the mathematical formulation of quantum mechanics, by further developing functional analytic notions such as linear operators on Hilbert spaces, which, very roughly speaking, correspond to Euclidean space, but with an infinity of independent directions. elle est parfaite mais parfois j'ai aucun diagonalisation demandé avant, c'est que mettre la matrice à la puissance n est visible en fesant A2 voir A3 comme dans mon exemple ? (For proof that Sylvester published nothing in 1848, see: J. J. Sylvester with H. F. Baker, ed.. \end{pmatrix} $, On pose : "Empty Matrix: A matrix is empty if either its row or column dimension is zero". -2 & 3 Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $A^n = P \times B^n \times Q$. 2-2^n & 2^n-1 \\ Oui, tant que l'on n'a pas une vraie théorie on donne les indications qui marchent bien dans l'exemple que l'on veut traiter. Cela donne un système : Ceci permet de trouver an, bn, cn. Ensuite on demande de calculer cette matrice à la puissance n. Là il y a deux méthodes de faire, une que je comprends ( on exprime M en fonction de P et P-1 matrice de passage) et l'autre que je ne comprends pas. Une vidéo vous a plu, n'hésitez pas à mettre un. Si dans l'énoncé, on demande de démontrer que ${\rm A}^n=....$, Soit ${\rm A}=\begin{pmatrix} $Q =\begin{pmatrix} Although many sources state that J. J. Sylvester coined the mathematical term "matrix" in 1848, Sylvester published nothing in 1848. At that point, determinants were firmly established. E1=Vect(v1) donc v1E1 d'ou f(v1)=v1 (si l'on note A la matrice associé à l'endomorphisme f) De même f(v2)=2v2 et f(v3)=3v3; Finalement dans la base (v1,v2,v3), la matrice est : Si l'on effectue le produit PDP-1, on retombe bien sur A. Enfin l'égalité An=(PDP-1)n=PDnP-1 se montre par récurrence. \end{pmatrix} $. elle est parfaite mais parfois j'ai aucun diagonalisation demandé avant, c'est que mettre la matrice à la puissance n est visible en fesant A2 voir A3 comme dans mon exemple ? Toujours à la recherche d'une solution "élémentaire" (au cas où notre ami TheMax n'aurait pas Cayley Hamilton en magasin) On calcule comme l'a fait geo3 les premières puissances. Pastebin.com is the number one paste tool since 2002. Puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3. Pour =3, on cherche E2=Ker(A-3I). Bonjour même par récurrence je voudrais bien la voir car avec A = [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] qui est donnée ligne par ligne on a A² = [ 1,3,1 ; 0,2²,5 ; 0,0,3² ] A³ = [ 1,7,2.3 ; 0,2³,19 ; 0,0,3³ ] A^4 = [ 1,3.5,5² ; 0,2^4,5.13 ; 0,0,3^4 ] A^5 = [ 1,31,2.45 ; 0,2^5,211 ; 0,0,3^5 ] A^6 = [ 1,63,7.43 ; 0,2^6,2.133 ; 0,0,3^6 ] * Par Cayley-Hamilton on a de proche en proche les puissances successives de A en fonction de A² et A A³  =  6.A²  - 11.A  +  6 A^4 = 25.A²  - 60.A  + 36 A^5 = 90.A²  -239.A  +150 A^6 =301.A²  -840.A  +540 mais alors pour A^(10000) bonne chance en espérant que A = bien [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] et qu'il n'y a pas d'erreur dans ce A sinon j'ai fait cela pour rien . Pour =2, on cherche E2=Ker(A-2I). stricte, b. Puissance n-ième d'une matrice A+. Comme le polynome caractéristique est scindé à racine simple la matrice A est diagonalisable. bonne journée. De plus, J commute avec D = diag (1;2;3), donc on peut utiliser le développement du binôme de Newton, la somme ne contenant que les termes pour k=0, 1 et 2 puisqu'à partir de 3 J^n=[0]. Merci en tout cas de me donner un peutit coup de main. Alors An=P-1DnP et le calcul de Dn est immédiat! Mais tu verras tout ça un peu plus tard! La première suite est arithméticogéométrique n sait faire La deuxième s'étudie grâce à qui vérifie : encore une arithméticogéométrique. Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels. Cauchy was the first to prove general statements about determinants, using as definition of the determinant of a matrix A = [ai,j] the following: replace the powers ajk by ajk in the polynomial. On trouve donc trois vecteurs engendrant les sous espaces propres : E1=Vect(v1) E2=Vect(v2) E3=Vect(v3) La famille (v1,v2,v3) forme une base de R^3 : c'est une base de vecteur propre dans laquelle la matrice A est sous forme diagonale. 0& 1&-1\\ On calcule J², on observe qu'elle ne contient que des 0 sauf un 1 tout en haut à droite. The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853, Whitehead, Alfred North; and Russell, Bertrand (1913), How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito, ROM cartridges to add BASIC commands for matrices, The Nine Chapters on the Mathematical Art, mathematical formulation of quantum mechanics, "How to organize, add and multiply matrices - Bill Shillito", "John von Neumann's Analysis of Gaussian Elimination and the Origins of Modern Numerical Analysis", Learn how and when to remove this template message, Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages, Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors, Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose), Matrix operations widget in Wolfram|Alpha, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrix_(mathematics)&oldid=989235138#Basic_operations, Short description is different from Wikidata, Wikipedia external links cleanup from May 2020, Creative Commons Attribution-ShareAlike License, A matrix with one row, sometimes used to represent a vector, A matrix with one column, sometimes used to represent a vector, A matrix with the same number of rows and columns, sometimes used to represent a. row addition, that is adding a row to another. 0,2 & 0,9 Vous devez être membre accéder à ce service... 1 compte par personne, multi-compte interdit ! 1& 0&1\\ On définit la matrice $B = Q \times A \times P$. Pour =1, on cherche E1=Ker(A-I). (c'est général avec les matrices qui ne contiennent qu'une ligne oblique de 1 au dessus de la diagonale principale : quand on les élève au carré, la ligne de 1 "glisse" vers le haut à droite, et encore un peu au cube, ... jusqu'à quitter la matrice.) et à partir de J^3, toutes les J^n sont nulles. Cela étant, divisons Xn par P(X) : On remplace successivement X par 1,2,3. Puissance n -ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3. [116] Number-theoretical problems led Gauss to relate coefficients of quadratic forms, that is, expressions such as x2 + xy − 2y2, and linear maps in three dimensions to matrices. On dit qu'on a diagonalisé la matrice $\rm A$. 3. A plus RR. Bertrand Russell and Alfred North Whitehead in their Principia Mathematica (1910–1913) use the word "matrix" in the context of their axiom of reducibility. Many theorems were first established for small matrices only, for example, the Cayley–Hamilton theorem was proved for 2×2 matrices by Cayley in the aforementioned memoir, and by Hamilton for 4×4 matrices. Also at the end of the 19th century, the Gauss–Jordan elimination (generalizing a special case now known as Gauss elimination) was established by Jordan. D'après le théorème de Cayley Hamilton, P(A) = 0. 0 & 1 \\ In 1545 Italian mathematician Gerolamo Cardano brought the method to Europe when he published Ars Magna. Posté par . à propos je voulais demander car j'ai eu le cas résament est qu'une matrice peu etre no diagonalisable et no trigonalisable? De nombreux problèmes se résolvent à l'aide des puissances de matrices, … ou 3. Considérons P(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3). Il ne faut pas la transormer en une matrice diagonale, d'abord, puis la mettre à la puissance n. Je n'ai pas cherché à calculer mais si tu peux transformer ta matrice en une matrice diagonale, ou un produit de matrices diagonales: a00 0b0 00c Alors la matrice An= an 0 0 0 bn 0 0 0 cn Mais je ne suis pas sur que c'est plus simple. \end{pmatrix} $. 0 & 1 \\ On obtient ainsi une formule générale. $A =\begin{pmatrix} 1& 0&0\\ en cours je me suis aperçus qu'à plusieurs calculs de A^n on calculer souvent le A² et A^3 . Si A est un vecteur et b un scalaire alors A^b et A.^b donnent le même résultat (puissance élément par élément). On l'a pourtant corrigé en classe, mais je n'ai pas bien saisi la correction. et même question pour diagonalisable et trigonalisable? Reprends la methode vue en cours, montre moi ce que tu ne comprends pas... ok, eh bien je noterai toute la méthode (qui est assez longue) un peu plus tard, je dois aller en cours. Une matrice d'adjacence à la puissance n permet de connaître le nombre de chemins de longueurs n entre n'importe quel couple de point du graphe. De nombreux problèmes se résolvent à l'aide des puissances de matrices, on devra être capable d'utiliser sa calculatrice pour déterminer les coefficients. La récurrence prouve que c'est OK, avec , et . [108], An English mathematician named Cullis was the first to use modern bracket notation for matrices in 1913 and he simultaneously demonstrated the first significant use of the notation A = [ai,j] to represent a matrix where ai,j refers to the ith row and the jth column. Montrer que pour tout entier $n\geqslant 0$:  ${\rm A}^n=\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$, [108], The modern study of determinants sprang from several sources. Enfin, il faut l'emballer un peu pour la rédaction. -3 & -2 en cours je me suis aperçus qu'à plusieurs calculs de A^n on calculer souvent le A² et A^3. Heureuseument les  solutions  de ton 1er système et celles que tu as trouvés par la méthode pivot sont les mêmes encore merci A+. 1& -1&-1\\ $P =\begin{pmatrix} Posté par . P(X) est le polynôme caractéristique et P(A) = 0  jusque là OK Cela étant, divisons Xn par P(X) : Xn = P(X).Q(X) +  an.X² + bn.X + cn là il y a quelque chose qui m'échappe ( malgré 1 certain polynôme annulateur) solutions du système an + bn + cn = 1 4an + 2bn + cn = 2n 9an + 3bn + cn = 3n => an = 3n/2 - 2n + 1/2 bn = -3n+1/2 + 2n+2 - 5/2 cn = 3n - 3.2n + 3 * vérifions pour n=6 a6 = 36/2 - 26 + 1/2 b6 = -36+1/2 + 26+2 - 5/2 c6 = 36 - 3.26 + 3 => a6 = 729/2 - 64 + 1/2 = 365 - 64 = 301 bn = -2187/2 + 256 - 5/2 =  -1096 + 256 = - 840 cn = 729 - 192 + 3 = 540 OK, me revoilà ! harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (, See any reference in representation theory or, "Not much of matrix theory carries over to infinite-dimensional spaces, and what does is not so useful, but it sometimes helps." 9& 0&8\\ They proposed this axiom as a means to reduce any function to one of lower type, successively, so that at the "bottom" (0 order) the function is identical to its extension: For example, a function Φ(x, y) of two variables x and y can be reduced to a collection of functions of a single variable, for example, y, by "considering" the function for all possible values of "individuals" ai substituted in place of variable x. Puissance n-ième d'une matrice carrée a. Définition Soit A une matrice carrée d'ordre 2 ou 3. 1& 0&0\\ ¤ lafol : dans ta décomposition A = D + J, D et J ne commutent pas. J'ai pensé à: si A^2=I alors A^3 =A autrement dis : A^n = I pour n pair A^n = A pour n impair correcte d'écrire sa comme sa? 1& 0&0\\ 1& 1&1\\ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1 Bonjour. > Car ce n'est pas aux élèves de payer pour leur éducation. 1& 1\\ Je trouve par la méthode du pivot : Ensuite on écrit que : Je trouve finalement : . $A =\begin{pmatrix} 0&0&c\\ Bonjour geo3 C'est : Xn = P(X).Q(X) + an.X² + bn.X + cn qui te pose problème ? -8& 0&-8\\ La matrice $\rm P$ est donnée dans l'énoncé. $({\rm I}_k)$ est l'élèment neutre de la multiplication des matrices. 4 & 3 \\ The identity matrix I n of size n is the n-by-n matrix in which all the elements on the main diagonal are equal to 1 and all other elements are equal to 0, for example, = [], = [], ⋯, = [⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯] It is a square matrix of order n, and also a special kind of diagonal matrix. In the early 20th century, matrices attained a central role in linear algebra,[120] partially due to their use in classification of the hypercomplex number systems of the previous century. [110] Between 1700 and 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz publicized the use of arrays for recording information or solutions and experimented with over 50 different systems of arrays. 2-2^n & 2^n-1 \\ \end{pmatrix}$. A plus RR. [108] Cramer presented his rule in 1750. The word has been used in unusual ways by at least two authors of historical importance. Frobenius, working on bilinear forms, generalized the theorem to all dimensions (1898). where Π denotes the product of the indicated terms. Description. \end{pmatrix} $ et ${\rm P}=\begin{pmatrix} > > En tout cas merci A+. In 1858 Cayley published his A memoir on the theory of matrices[114][115] in which he proposed and demonstrated the Cayley–Hamilton theorem. Terminale mais je vois que tu es nouveau : bienvenue sur l'île ! D'après le théorème de Cayley Hamilton, P(A) = 0. Matrices have a long history of application in solving linear equations but they were known as arrays until the 1800s. \end{pmatrix} $. C'est un peu plus subtil dans le cas d'une triangulable, mais un peu du même genre! "A matrix having at least one dimension equal to zero is called an empty matrix". Enfin, en remplaçant X par A dans (I) : Cordialement RR. Soit (matrice carrée) Calculer pour n = 10000 On a utilisé la méthode par récurrence. j'aimerais savoir s'il existe des méthodes plus simples. -1& 0&1\\ [108] Early matrix theory had limited the use of arrays almost exclusively to determinants and Arthur Cayley's abstract matrix operations were revolutionary. Calculer $A^n$ pour tout entier naturel non nul $n$. Pas besoin de diagonalisation ici: A = diag(1;2;3) + J, où J est une matrice qui ne contient que des 0 sauf sur la diagonale au dessus de la diagonale principale. 2 & -1 On range les sommets dans un ordre déterminé. On considère le graphe suivant : Construire sa matrice d'adjacence M puis déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 reliant les sommets A et C. Etape 1 Ranger les sommets dans l'ordre. Nous sommes désolés que ce cours ne te soit pas utile, N'hésite pas à nous écrire pour nous faire part de tes suggestions d'amélioration, Positions relatives de droites et de plans, Nombres premiers : questionnements et nombres premiers particuliers (application RSA), Croissances comparées des fonctions exponentielle, puissance et logarithme, Histoire-géographie, géopolitique et sciences politiques. 1) On vérifie que $\rm P$ est inversible puis on détermine $\rm P^{-1}$. Conjecture : . Bonjour à tous. 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1 coefficients. -2 & 3 The Chinese text The Nine Chapters on the Mathematical Art written in 10th–2nd century BCE is the first example of the use of array methods to solve simultaneous equations,[107] including the concept of determinants. On considère la matrice ${\rm A}=\begin{pmatrix} Si on appelle P la matrice de passe de la base canonique à la base B'=(v1,v2,v3), alors on a la relation : A=PDP-1 On calcule alors An=(PDP-1)n=PDnP-1. And then the resulting collection of functions of the single variable y, that is, ∀ai: Φ(ai, y), can be reduced to a "matrix" of values by "considering" the function for all possible values of "individuals" bi substituted in place of variable y: Alfred Tarski in his 1946 Introduction to Logic used the word "matrix" synonymously with the notion of truth table as used in mathematical logic. bigbos, ça fait 3 ans et demi que Themax s'est posé cette question, on peut espérer qu'il a eu le temps de lire toutes les réponses apportées depuis ... et le coup de Newton, si tu avais tout lu, tu aurais vu que je l'avais évoqué avant de réaliser grâce à Raymond Les matrices à la puissance n que les matrices concernées ne commutant pas, c'était mort pour la formule du binôme ! Pour , on a les premiers : , , . Cas des matrices triangulaires supérieure The term "matrix" (Latin for "womb", derived from mater—mother[111]) was coined by James Joseph Sylvester in 1850,[112] who understood a matrix as an object giving rise to a number of determinants today called minors, that is to say, determinants of smaller matrices that derive from the original one by removing columns and rows. Vous devez être membre accéder à ce service... 1 compte par personne, multi-compte interdit ! [108] The Japanese mathematician Seki used the same array methods to solve simultaneous equations in 1683. Bonsoir Pour moi beaucoup de tout cela n'est que souvenirs mais je crois avoir tout compris sauf le D de la dernière ligne dans A=PDP-1 On calcule alors An =(PDP-1)n=PDnP-1. \end{pmatrix} $, Si dans l'énoncé, on demande de démontrer que $\rm A=B+C$. rebonjour Considérons P(X) = (X - 1)(X - 2)(X - 3). Pour n'importe matrice nn il existe une manière d'exprimer An comme combinaison linéaire des puissances inférieures. 0& 2 1 & 1 \\ Bonjour, voilà un peu mon énoncé alors une matrice A    -3  -2  -2                         2   1   2                         2   2   1 tout dabord on me fais calculer A² je trouve que A² = I donc ensuite j'en déduis que c'est inversible et que A^(-1) = A ensuite, il me demande en utilisant tout sa en déduire A^n "(on distinguera deux cas selon la parité de n)" Je suis un peu bloqué. Savoir utiliser la notation puissance d'une matrice d'ordre 2 Pour n=2, cela se voit très bien : (PDP-1)2=(PDP-1)(PDP-1)=PDP-1PDP-1=PDIDP-1=PD2P-1 etc, OK Eh bien oui je devais le savoir Je vais approfondir tout cela demain pour me replonger dans mes souvenirs Ca fait du bien de temps en temps. For the physics topic, see, Addition, scalar multiplication, and transposition, Abstract algebraic aspects and generalizations, Symmetries and transformations in physics, Other historical usages of the word "matrix" in mathematics. Bonjour même par récurrence je voudrais bien la voir car avec A = [ 1,1,0 ; 0,2,1 ; 0,0,3 ] qui est donnée ligne par ligne on a A plus RR. Si A est une matrice carrée et b un scalaire alors A^b est la matrice A élevée à la puissance b.. Si b est un un scalaire et A une matrice alors A.^b est la matrice formée par les éléments de A élevés à la puissance b (puissance élément par élément).

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