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p Coefficients binomiaux Triangle de Pascal En fait, ce triangle était connu des mathématiciens chinois au 12e siècle déjà puisque Zhu Shi Jie s'y intéressait. z ( {\displaystyle u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}} p souhaitée](d'après la relation de récurrence sur les + − + , ) ) r F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}=2} / p i Propriété 9 : + p + n ( + {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p},} {\displaystyle \forall (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},~{\mathcal {F}}_{a}\land {\mathcal {F}}_{b}={\mathcal {F}}_{a\land b},} 2 8 ) {\displaystyle {\frac {{\mathcal {F}}_{n+1}}{{\mathcal {F}}_{n}}}} 2 1 + La dénomination de « suite de Fibonacci généralisée » est attribuée plus généralement à toute, D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers, La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement. 55 Calcul des coefficients binomiaux . n Un moyen bien plus efficace de calculer la suite de Fibonacci consiste à calculer simultanément deux valeurs consécutives de la suite. n = + F n 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}} φ n ( 0 = 8 = 5 , {\displaystyle z\sum _{m\in \mathbb {N} }(z+z^{2})^{m}=\sum _{m,k\in \mathbb {N} }{m \choose k}z^{1+m+k}} {\displaystyle U_{1}=1} u est le nombre d'or. n ), si bien que (comme la suite des quotients de la suite de Fibonacci) la suite − F u authors in Wikipedia, AutoCAD, SolidWorks, Autodesk Inventor, FreeCAD, Catia, Siemens NX, PTC Creo, Siemens Solid Edge, Microstation, TurboCAD, Draftsight, IronCAD, Spaceclaim, VariCAD, OnShape, IntelliCAD,T-FLEX, VariCAD, TenadoCAD, ProgeCAD, Cadra, ME10, Medusa, Designspark, KeyCreator, Caddy, GstarCAD, Varimetrix, ASCON Kompas-3D, Free Download, Autocad, 2D Library, DXF, DWG, 2D drawing, 3D digital library, STEP, IGES, 3D CAD Models, 3D files, CAD library, 3D CAD files, BeckerCAD, MegaCAD, Topsolid Missler, Vero VisiCAD, Acis SAT, Cimatron, Cadceus, Solidthinking, Unigraphics, Cadkey, ZWCAD, Alibre, Cocreate, MasterCAM, QCAD.org, QCAD, NanoCAD, This website uses tracking mechanisms by using technically not necessary cookies in order to offer and constantly improve its services, and to provide individual offers. et ∑ {\displaystyle {\mathcal {F}}_{79}} φ − 1 n Elle doit son nom à Leonardo Fibonacci qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage Liber abaci publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins : « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. ( ∑ 1 1 2 1 p N n , (identité de Cassini[4]). }, Propriété 4 : φ {\displaystyle n\,} {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}} p + ′ F + 2 p − k − k + + 2 {\displaystyle n+1} u < 1 », Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci, Décomposition d'un entier en somme de nombres de Fibonacci, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0, identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, théorème d'Euclide sur les nombres premiers, paragraphe « Phyllotaxie » de l'article sur le nombre d'or, suite des quotients de la suite de Fibonacci, Musique pour cordes, percussion et célesta, Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0. les lapereaux ne procréent qu'à partir du (début du) troisième mois ; chaque (début de) mois, toute paire susceptible de procréer engendre effectivement une nouvelle paire de lapereaux ; les lapins ne meurent jamais (donc la suite de Fibonacci est croissante). k − (somme finie car les coefficients binomiaux 1 − 1 1 F 50 ( q F En voici quelques-unes, démontrées le plus souvent à partir de la formule de Binet ou par récurrence (pour certaines, on peut aussi utiliser le calcul matriciel et les identités données au paragraphe « algorithme logarithmique »). {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} = 1 F By clicking on, « Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. s   1 ou encore : ∈ z ∑ 1 z φ {\displaystyle {\mathcal {F}}_{50}} F φ {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=0} F , . p 5 ) p n p r ( 2 F ). ( 1 p Par exemple, le terme d'indice, Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l', Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du, Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin. {\displaystyle k>n-1-k} n {\displaystyle u_{n+1}=1+1/u_{n}{\text{ et }}u_{n}^{2}-u_{n}-1=(-1)^{n}/{\mathcal {F}}_{n}^{2}} ( = 2 − 50 (pour n ≥ 1) sous forme de produits trigonométriques[6] : n = u n F 1 r ( 1 p ∈ a L ) F F Comme l'avait déjà remarqué Johannes Kepler[2], le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire b 3 p Elle est donc équivalente à z Dans cette population (idéale), on suppose que : Notons . ) p ( F − ∀ F p ∈ s 1 n {\displaystyle \forall (p,r)\in \mathbb {Z} ^{2},{\mathcal {F}}_{p+r}-(-1)^{r}{\mathcal {F}}_{p-r}={\mathcal {F}}_{r}{\mathcal {L}}_{p}.} q F n 2 Il est un expert reconnu de l'enseignement et de la vulgarisation des mathématiques. n U + On obtient ainsi la forme récurrente de la suite de Fibonacci : chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, 12586269025 1 F + n ≤ s 0 / b + / 1 et l'identité de Cassini vue en propriété 5). p En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à − + {\displaystyle n} = ( . u 1 F La suite de Fibonnacci apparaît également comme une suite récurrente du premier ordre, mais non linéaire. L En particulier, pour tout réel k > φ, n . n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{71}} q ) F et {\displaystyle n} {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}} F + 2 ∀ ( et b ( Vous pouvez ajouter ce document à votre liste sauvegardée. ( ( ou qu'elle est + . Rob Bosch est professeur de mathématiques à l'Académie néerlandaise de la défense et membre de la rédaction d'Euclides, la revue de l'association néerlandaise des professeurs de mathématiques. φ = − = u ∈ = ) Dans le jeu Watch Dogs, la suite de Fibonacci est introduit dans l'algorithme de Bellwether, capable de transmettre un message subliminal à travers le système ctOS. {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} 2 ∀ 5 {\displaystyle D={\mathcal {F}}_{a}\land {\mathcal {F}}_{b}} Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble très général des suites à récurrence linéaire. ′ ) F φ r {\displaystyle \varphi '^{n}} ). José Wuidar est professeur de mathématiques en sciences économiques et de gestion aux Facultés universitaires de Namur. F Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le p ( , qui le dépasse à peine. ( m n = … 2 F Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas, On a donc, pour tout entier ) . b = Les deux premières égalités s'obtiennent par somme télescopique : La troisième s'en déduit en les additionnant, de façon différente suivant la parité de 1 n + F p {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~2^{n-1}{\mathcal {L}}_{n}=\sum _{0\leq k\leq n/2}{n \choose 2k}5^{k}} 1 Parmi ces suites, on distingue la suite de Tribonacci (récurrence d'ordre 3) et la suite de Tetranacci (récurrence d'ordre 4). F 5 F = n 1 F n + 50 n u 1 F ∞ {\displaystyle (\varphi ^{n})} ≤ P + Ou savez-vous comment améliorerlinterface utilisateur StudyLib? 2 1 n u 0 0 F et de résoudre l'équation du second degré obtenue d'inconnue n Plaçons-nous maintenant au mois q {\displaystyle V_{0}=2} n conduisent au système suivant : Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée, qui porte le nom de formule de Binet[1] : (Ces calculs restent valables pour n entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.). ) On peut diviser les deux membres par 1 – z – z2 puisque z est différent des deux racines –φ et 1/φ. {\displaystyle \alpha \varphi ^{n}} r . définie par . ∑ + Mario Merz, Suite de Fibonacci, commande publique artistique, 1994, Strasbourg. En fait plus généralement, toutes les suites vérifiant la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci (cf. et n n φ ). ) k Z L . − 5 n En multipliant les deux membres de la relation de récurrence par zn+2 puis en sommant sur tous les entiers naturels n, on obtient : ) ) 2 . ( ∧ 1 p (ce qui ne se produit que si n q Sur le modèle de la démonstration donnée plus haut (voir section Expression fonctionnelle), une telle suite (identité de Catalan) et + n , {\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} ,\varphi ^{n}={\mathcal {F}}_{n}\varphi +{\mathcal {F}}_{n-1}~{\text{et}}~\varphi '^{n}={\mathcal {F}}_{n}\varphi '+{\mathcal {F}}_{n-1}. n ∓ p < ) ∈ Le jeu génère donc aléatoirement la galaxie, mais il peut ensuite la générer exactement de la même façon lorsqu'une partie est sauvegardée puis rechargée. ) 2 ∈ Coefficients binomiaux Triangle de Pascal Le triangle de Pascal se construit ligne par ligne : chaque terme est l'addition des deux nombres de la ligne supérieure qui lui sont adjacents. = z r ) − 1 {\displaystyle n+2} p L + N r F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} est équivalente à i . 1 − ≈ p 1 F 2 − {\displaystyle {\mathcal {F}}_{kn}} {\displaystyle s(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}z^{n}.} . F α {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=1} Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps Z/pZ (où p est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo p ; voir la loi de réciprocité quadratique) que Pascal en fait une étude détaillée en 1653, c'est pourquoi il porte son nom. k n F 0 k q {\displaystyle {\varphi '^{n} \over {\sqrt {5}}}} 1 n ∈ L (On peut donc l'interpréter comme le nombre de façons différentes de paver un rectangle 2×N au moyen de dominos 2×1. ( Les suites , converge vers le nombre d'or, n {\displaystyle \forall (p,q)\in \mathbb {Z} ^{2},{\mathcal {F}}_{p}^{2}-{\mathcal {F}}_{p-q}{\mathcal {F}}_{p+q}=(-1)^{p-q}{\mathcal {F}}_{q}^{2}} . , ∑ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} n {\displaystyle n+2} F n 1 p = + − + − = , De 2006 à 2008, il a dirigé un groupe d'études sur les liens entre enseignements secondaire et supérieur. p 5 Vous ne vous sentez pas sûr de vous en maths ? − z Z ∀ n 1 4 z Le Corbusier et son Modulor, une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'Architecture et à la mécanique. Expédition dans un papier cadeau avec message personnalisé. = F {\displaystyle \varphi } L F a = − , p − + ′ + ) − ( , }, Par somme et différence, il revient au même de démontrer que. F et n {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathcal {F}}_{n}z^{n}={\frac {z}{1-z-z^{2}}}} . − φ infra, section Suites de Fibonacci généralisées) satisfont cette propriété, sauf celles commençant par a et aφ'. , et pour laquelle l'analogue de la formule de Binet est : n p , + F n 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{p+1}{\mathcal {F}}_{p-1}-{\mathcal {F}}_{p}^{2}=(-1)^{p}} n N {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}={\mathcal {F}}_{n+2}-{\mathcal {F}}_{n+1}} ( q {\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}} {\displaystyle \varphi } Enfin, si p > 2 est premier et divise z -ième mois. 1 − > est équivalent à . Public : lycéens en Première et Terminale, étudiants en sciences, médecine, économie, écoles d'ingénieurs, autodidactes, Articles le plus souvent achetés avec Maths -. + s 1 = F ∑ q p F Nhésitez pas à envoyer des suggestions. z 0 0 − + π u p 1 0 k r F et 2 + n , On découvre au fil des ans des nombres de Fibonacci premiers de plus en plus grands, mais on ignore toujours s'il en existe une infinité. F ». F F Cette propriété découle du développement binomial de la formule de Binet[5] ; on a d'ailleurs une formule analogue pour les nombres de Lucas : est divisible par p sinon. c'est-à-dire, compte tenu de F N n ∈ + ∈ Dans le jeu Metal Gear Solid 4: Guns of the Patriots, la suite de Fibonacci apparaît en tant que petite comptine chantée par la petite Sunny. + et des couples nouvellement engendrés. p < b − est divisible par p si p est de la forme 5m + 1 ou 5m + 4, et 1 5 n , + F − L p 0 k p ( Nous donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et la suite des nombres de Lucas ( ) , pk divise par un entier a consiste à étudier la suite des restes de k = = ∀ ( 2 {\displaystyle (\varphi '^{n})} n 1 − La seconde égalité est immédiate et la première résulte de la propriété 9 : Propriété 11 : Les livres sont emballés dans un plastique bulle et expédiés dans un carton renforcé aux angles. 0 F , F r = {\displaystyle |\varphi '|<1<\varphi } En effet, comme le degré de P est impair, on a : lim P (x) = −∞ x→−∞ et lim P (x) = +∞. U définie par la même relation de récurrence mais avec pour initialisation 2 F 5 , à savoir φ 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=1} n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}=0} n F 3 Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé : elle est devenue. , où les coefficients binomiaux 1 × 2 modulo a : cette suite (rn) vérifie (dans Z/aZ) la même récurrence (rn+2 = rn+1 + rn) et est donc périodique de période au plus a2 (les longueurs des périodes en fonction de a forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS) ; on en déduit que pour tout a, il existe n inférieur ou égal à a2 tel que k φ 0 ∀ , 2 ∈ − F u {\displaystyle n} F est divisible par p si (p – 1)/2 est pair[7]. = {\displaystyle {\mathcal {F}}_{50}=12586269025~.}. {\displaystyle s(z)-z=zs(z)+z^{2}s(z),} On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur n : Propriété 13 : {\displaystyle {\mathcal {F}}_{3.2^{k-1}}} 1 n N p {\displaystyle {\mathcal {F}}_{(p-1)n}} 2 1. donc autour de 0, la séquence est : F Z Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,… On trouve parfois une initialisation 1 q k 2

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