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{\displaystyle f\in C^{n+1}([a,b])} En se plaçant dans le cadre général d'une méthode d'intégration numérique, l'erreur commise s'exprime sous la forme : L'erreur peut être calculée par l'intégrale d'une fonction liée à l'erreur, appelée noyau de Peano : Théorème — On suppose que la méthode d'intégration est d'ordre n. Si Ceci s’explique par le fait que l’écart d’intégration de la méthode du point milieu donne lieu à deux erreurs d’évaluation, de valeurs absolues égales et de signes opposés. {\displaystyle E_{J_{i},q_{i}}(f)} f [ {\displaystyle M=\sup _{x\in [a,b]}|f^{(m+1)}(x)|} q i ∑ μ m | ′ f La dernière modification de cette page a été faite le 11 mai 2020 à 19:33. [ p x }, Soit u une variable aléatoire de loi uniforme sur [a , b] et de densité f Pour chacune des méthodes précédentes, le terme d’erreur dépend d’une puissance de b – a. Cette imprécision étant le plus souvent trop importante, l’erreur peut être réduite en découpant simplement l’intervalle [a, b] en n sous-intervalles (supposés de longueurs égales), ceci dans le but de déterminer une valeur approchée de l’intégrale sur chacun d’eux, en application de la méthode choisie. {\displaystyle I_{n}(f)=h\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,f(a+hk+hx_{i})} Ces formules de quadrature sont en effet obtenues à l’aide de la substitution de la fonction par une approximation, c’est-à-dire par une fonction proche dont l’intégrale peut être déterminée algébriquement. 2 2 ″ g 1 {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\,1)} Le calcul numérique d’une intégrale par une méthode de quadrature consiste à utiliser une approximation de l’intégrale sur chaque intervalle [x i;x i+1] qui s’exprime en fonction des valeurs de fsur ses deux bornes, et éventuellement sur d… = i + − b + a Méthode de calcul d'intégrale à une dimension, Mise en œuvre : décomposition de l'intervalle en morceaux, Formules utilisant des valeurs des dérivées de la fonction, Lien entre ordre de la formule de quadrature et convergence de la méthode, Généralisation : formules de Newton-Cotes NC-, Méthode de calcul d'intégrale de forme particulière, Méthode de calcul d'intégrale à plusieurs dimensions, Erreur de la méthode de quadrature de Gauss. ( ] − ) ∈ ( ∞ Ce résultat conforte les recommandations suivantes : Ces méthodes utilisent l’interpolation des fonctions à intégrer par des polynômes dont la primitive est connue. Cette inégalité peut être montrée plus rigoureusement à l’aide de l’inégalité de Hölder pour tout 2 ] I ( ) − ( | ! 0 0 Created using Sphinx 3.1.2.Sphinx 3.1.2. f g i + = i }, La variable aléatoire f (u) est alors d’espérance. Le tableau suivant résume les performances théoriques de chaque méthode : Afin d’illustrer par un exemple les résultats numériques obtenus avec les diverses méthodes, considérons le cas particulier de la fonction f (x) = x sin(x2) et son intégrale sur l’intervalle {\displaystyle {\frac {\sqrt {q}}{(b-a)\sigma }}\,E_{q}(f)} Puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, on peut supposer sans restreindre la généralité que l’intégrale de f est nulle. O , ] 1 ‖ tel que | ) + ) = b ] n . Considérons une formule de quadrature associée à [0 ; 1] du type Une indication grossière de l’efficacité d’une formule de quadrature est son ordre qui, par définition, est la plus grande valeur entière m pour laquelle la valeur approchée de l’intégrale est exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à m. Cependant, la précision du résultat obtenu dépend à la fois de l’ordre de la formule de quadrature, de la taille des morceaux et de la régularité de la fonction. {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} ( Si xi désigne les points d’évaluation de f (i entre 0 et m – 1) : Concernant l’erreur globale d’une formule de quadrature linéaire d’ordre p, elle est donnée par, Ce procédé permet ainsi une généralisation des formules de Newton-Cotes. {\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{b-a}}. ( {\displaystyle f(\mu )=0} ) L’intérêt se manifeste toutefois principalement sur le volume des calculs. ( Une transformation affine permet de transposer la formule sur un morceau particulier. k 2 h ∈ ] There is no fault here, neither with the algorithm nor with your code (or python). j 2 1 {\displaystyle O(h^{2n+2})} m α Pour tout 0 ≤ k < n la substitution de f (x) restreinte à J'k = [a + kh , a + (k+1)h] par son développement de Taylor d’ordre m autour de la borne inférieure x0,k = a + k h implique que le remplacement de f (x) par le reste Rm,k(x) n'affecte pas la valeur de l’écart : l’ordre m assure en effet l’exactitude de la formule de quadrature pour chaque terme polynomial. , ( ( ( 0 q ) Mis à jour le 26 sept. 2020. {\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{2n+2}} i μ {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x} S’agissant de choisir une méthode d’intégration numérique, cette méthode ne doit pas être négligée, en particulier lorsque la fonction est régulière. = h la partie positive. = ) Le comportement de la fonction choisie étant bien régulier, les diverses courbes croissent très uniformément avec le nombre de sous-intervalles (hormis celles issues de la méthode de Monte-Carlo). 1 faisant intervenir la dérivée ou du type , C’est une conséquence directe du théorème central limite. ∈ ] ∈ ] Par conséquent. x x Pour illustrer l'aire d'intégration avec matplotib, on peut utiliser la méthode ax.fill_between(x, 0, function(x)) comme dans cet exemple: Calculer et tracer une intégrale simple avec python et Matplotlib. ″ An overview of the module is … E 1 = 0 ( ) 2 Cette méthode est d’ordre 0 puisqu’elle donne un résultat exact pour toute fonction constante (même avec un unique tirage). ∫ La méthode du point milieu est plus efficace si la fonction est dans x 0 q , 2 0 ′ On utilise maintenant le 3e résultat pour caractériser l’erreur d’intégration de f sur Ji issue de qi tirages, soit et multiplications par αi). α x b . ( . C ) {\displaystyle \,C={\frac {1}{(m+2)! k f y f , Ces techniques procèdent en trois phases distinctes : On appelle formule de quadrature une expression linéaire dont l’évaluation fournit une valeur approchée de l’intégrale sur un morceau typique (l’intervalle [0 ; 1] par exemple). ( a Et là où ça va mieux : utilisation des librairies Python présente l’avantage de recourir aux modules pour le développement de fonctions ou d… = ] D’autre part, il est généralement inutile d’appliquer une formule de quadrature d’ordre m si la fonction n’est pas continûment dérivable jusqu’à l’ordre m + 1. x La même approche peut se révéler opportune pour intégrer une fonction régulière, mais dont la variabilité est très dissemblable d’une zone à l’autre. ( Les cas singuliers de ce type sont les suivants : (1, 0, Méthode de surrelaxation successive (SOR), https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Calcul_numérique_d%27une_intégrale&oldid=170746720, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. ) En application des formules composites des diverses méthodes, le graphique ci-contre présente le nombre de chiffres significatifs exacts (soit − Par exemple, la fonction f (x) = x– α avec 0 < α < 1 est intégrable sur [0 ; 1] et I = 1 / (1 – α). . A l’aide du théorème de Taylor, pour tout ) Création le 15 Oct 2012. + = ) Si M est une matrice, il faut indiquer l'axe en paramètre axis= : 0 (premier indice) pour faire une différence entre les lignes, 1 (deuxième indice) pour faire la différence en… [ a Cette apparence est trompeuse : avec une fonction plus chaotique, les courbes seraient beaucoup plus erratiques. {\displaystyle f\in L^{\infty }([a,b]).}. . ( | n L’estimation de l’intégrale i de f est fournie par Iq(f) = (b – a) Mq(f) où Mq(f) est la moyenne arithmétique des f (ui), les ui étant q tirages aléatoires indépendants et distribués uniformément sur [a, b]. ( ( f La notation indique que la dérivée seconde intervient également en m" points équidistants. Le but est d'obtenir une approximation d'une intégrale définie du type $$ J = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $$ pour une certaine fonction \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) trop compliquée pour a priori déterminer la valeur de \( J \) à la main. ( = En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d’une variable sur un intervalle). + ⁡ Cette question est développée plus loin pour quelques formules de quadrature particulières. {\displaystyle \sigma (E_{q}(f))} − , You approximate the area of a (small) stripe of … f (soit l’espace des fonctions m + 1 fois dérivables dont la dérivée m + 1 est continue par morceaux), notons x En analyse numérique, il existe une vaste famille d’algorithmes dont le but principal est d’estimer la valeur numérique de l’intégrale définie sur un domaine particulier pour une fonction donnée (par exemple l’intégrale d’une fonction d… q ∫ {\displaystyle F(x)=-{\frac {1}{2}}\,\cos(x^{2})} , converge vers celle de la loi normale centrée réduite, soit J d , Considérons une intégrale définie ) C x ) f Notons Ji l’un des intervalles, puis gi(u) la fonction f (u) restreinte à Ji après soustraction d’une constante égale à la moyenne de f sur Ji. ( {\displaystyle {\mathcal {C}}_{I}^{m+1}([a,\,b])} {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}([a,\,b])} L'erreur pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : Il vient alors, par application du deuxième résultat : Le noyau de Peano pour cette méthode d'ordre 1 s'écrit : On sait que la méthode de quadrature de Gauss de degré m est d'ordre 2m+1. ) t , On se limitera ici à m' = 2 correspondant aux deux extrémités a et b. Peu connues (et donc rarement présentées dans les cours), ces méthodes permettent de gagner deux ordres de convergence par rapport à la méthode correspondante sans la dérivée, ceci en nécessitant très peu de calculs supplémentaires : en effet, les coefficients de f ' (a) et de f ' (b) sont opposés et ainsi, dans la formule composite (dont il est question ci-dessous), les dérivées aux extrémités de deux intervalles adjacent se simplifient. L’ordre du calcul des termes de cette double somme et certains arrangements permettent le plus souvent de réduire le nombre d’opérations (évaluations de f (.) Si ξ est le point d’interpolation, la formule est la suivante : Le choix de ξ influence l’erreur E(f) = I – I(f) : Ainsi, le choix du point milieu améliore l’ordre de la méthode : celle du rectangle est exacte (c’est-à-dire E(f) = 0) pour les fonctions constantes alors que celle du point milieu est exacte pour les polynômes de degré 1. ] 1 La fonction np.diff() calcule la différence entre les éléments consécutifs d'un vecteur (ou d'une liste ou d'un n-uplet) : np.diff(M) == M[1:] - M[:-1]. ρ ) Dans ce cas, il existe une constante C indépendante de f et de [a , b] telle que. x ω . 10 x I En d’autres termes, Eq(f) est essentiellement distribué comme une loi normale , ceci avec une grande économie du nombre d’évaluations de la fonction (précisément 2n + 1 évaluations). ( pour des fonctions de classe Avec m points pour la fonction et 2 points pour sa dérivée, il en découle une méthode. π ( p 2 Il n'existe pas de formule générale dans ce cas, mais on peut obtenir le résultat suivant[6] : Soit Pm + 1 le polynôme d'interpolation des points de Gauss associés au poids w sur [a , b]. La conclusion découle alors du 1er résultat. {\displaystyle \xi \in ]a,b[} . M ∑ 1 En interpolant f par un polynôme de degré 2 (3 degrés de liberté), 3 points (ou conditions) sont nécessaires pour le caractériser : les valeurs aux extrémités a, b, et celle choisie en leur milieu m = (a + b) / 2. Dans le cas du calcul d'une intégrale de la forme a {\displaystyle {\mathcal {N}}\left(0,\,{\frac {(b-a)^{2}}{q}}\sigma ^{2}\right). ) x Décomposition du domaine en morceaux (un intervalle en sous-intervalles contigus) ; Intégration approchée de la fonction sur chaque morceau ; Sommation des résultats numériques ainsi obtenus. i ) | log b , il convient de choisir le plus petit h possible, soit un tirage par intervalle (n = q) pour obtenir. , 1 . 2 . | a n Cependant, ne s’agissant pas d’une formule de quadrature, l’erreur ne peut pas être majorée avec certitude par une quantité décroissante avec le nombre de tirages. Après n itérations, elle conduit à une méthode d’ordre de 22 n + 1 avec une erreur en Alors le noyau de Peano K2m+1 est positif et pour tout , f Sur chaque intervalle, on réalise ainsi l’approximation … 1 N g ∈ 5 Intégration. 2 − max {\displaystyle \sum _{j=0}^{p''}\gamma _{j}\,g''(z_{j})} , il existe Avec m points, il en découle une méthode. . {\displaystyle (x-t)_{+}=\max(x-t,0)} ∈ Les résultats suivants permettent de caractériser la distribution de l’erreur et son écart type : Alors la distribution de + ∞ Si la formule de quadrature comporte des termes du type cos Remarque : ce développement n’a pas pour objectif de déterminer la constante C la plus faible. ) ) p | n ‖ ( b et si Kn est de signe constant, alors il existe b sup On notera ici NC-m la méthode basée sur m points : Pour des questions d’instabilité numérique provenant en particulier du phénomène de Runge, il est cependant préférable de limiter le degré m du polynôme d'interpolation, quitte à subdiviser l'intervalle en sous-intervalles. i 2 μ ∑ Il s’agit d’une sorte d’anomalie où se produisent des compensations bénéfiques à l’ordre de la méthode. = Dans cette méthode, on calcule l’intégrale numérique en réalisant une somme de surfaces de rectangles. ) | La méthode de Simpson est basée sur un polynôme de degré 2 (intégrale d’une parabole), tout en restant exacte pour des polynômes de degré 3 ; elle est donc d’ordre 3 : Remarque : comme la méthode du point milieu qui caractérise un polynôme de degré 0 et qui reste exacte pour tout polynôme de degré 1, la méthode de Simpson caractérise un polynôme de degré 2 et reste exacte pour tout polynôme de degré 3. + Supposons également que la fonction f à intégrer comporte une singularité à une des bornes de l'intervalle . b Des méthodes d'approximations déterministes et probabilistes seront introduites pour obtenir une approximation … est une primitive de f (x), il est facile de déterminer la valeur exacte de l’intégrale qui vaut I = 1. Tweeter Suivre @CoursPython. En interpolant f par un polynôme de degré 1, les deux points d'interpolation (a, f (a)) et (b, f (b)) suffisent à tracer un segment dont l’intégrale correspond à l’aire d’un trapèze, justifiant le nom de méthode des trapèzes qui est d’ordre 1 : Conformément aux expressions de l’erreur, la méthode des trapèzes est souvent moins performante que celle du point milieu. ≤ m I 1 + ) ) ( ) E ′ σ α ∈ {\displaystyle -\log _{10}\left(\left|{\frac {E(f)}{I}}\right|\right)} a ) Formule NC-1-2 : basée sur un polynôme de degré 2, elle est d’, Formule NC-2-2 : basée sur un polynôme de degré 3, elle est d’, Formule NC-3-2 : basée sur un polynôme de degré 4, elle est d’, Formule NC-4-2 : basée sur un polynôme de degré 5, elle est d’, Formule NC-5-2 : basée sur un polynôme de degré 6, elle est d’, Une méthode NC-1-1-...-1 n’est autre que l’intégration d’un. {\displaystyle \mu \in [a,b]} | ( Ainsi gi'(u) = f'(u) et l’intégrale de gi sur Ji est nulle. L’intégrale sur [a, b] est estimée par la somme des valeurs ainsi calculées. b n 0 C N = = f f Supposons que a et b soient finis : dans le cas contraire, il est conseillé d’effectuer un changement de variable permettant de satisfaire cette hypothèse[1]. L ( {\displaystyle f\in C^{n+1}([a,b])} On peut alors assurer que son espérance est égale à l’intégrale de f et préciser une borne de l’écart type de l’erreur. f La fonction f peut être interpolée à l’aide de son évaluation en m points équidistants (comprenant les deux extrémités si m > 1, méthode du point milieu si m = 1) par un polynôme de degré m – 1 issu d’une base de polynômes de Lagrange et dont l’intégrale est fournie par les formules de Newton-Cotes. − ( ) Dans ce cas, le théorème de Rolle appliqué à une primitive de f implique l’existence d’un point ( + x ] ∈ Mentionnons uniquement une formule particulièrement remarquable qui présente une double anomalie : Formule NC-4-2-2, basée sur un polynôme de degré 7, elle est d’ordre 9 : Les coefficients de f '(a) et de f '(b) sont opposés, ce qui permet des simplifications dans la formule composite. q ceci pour k entre 0 et n–1. Ce procédé permet ainsi une généralisation des résultats précédents. {\displaystyle I_{[0,1]}(g)=\sum _{i=0}^{p}\alpha _{i}\,g(x_{i})} Tronquer l’intervalle pour le rendre fini est une mauvaise idée car la contribution du morceau amputé n’est jamais négligeable. , a = Dans ce cas et afin de réduire [ ( ] avec [ ∈ 0 b a − j σ a 0 ξ g {\displaystyle \xi \in ]a,b[} ( m ) Pour intégrer une fonction f sur un intervalle [a , b], la méthode de Monte-Carlo est ici mentionnée à titre « presque anecdotique » : sa performance reste en effet très limitée et son coût de traitement élevé à cause du grand nombre d’évaluations de f qui sont nécessaires pour espérer obtenir un résultat significatif. + x On donne ici quelques calculs du noyau de Peano. b b ξ qui, puisque la méthode de Monte-Carlo est d’ordre 0, est égale à EJi,qi(gi) : En utilisant l’indépendance des variables EJi,qi(gi) et l’hypothèse que les qi sont tous égaux à q/n, il vient, Ce dernier résultat justifie le comportement relativement médiocre de la méthode de Monte-Carlo. ) E ∑ [ Dans une telle situation, il convient de soustraire à f une fonction g dont l’intégrale est connue et qui soit telle que f – g ne soit plus singulière, puis d’intégrer numériquement cette différence. C’est la méthode la plus simple qui consiste à interpoler la fonction f à intégrer par une fonction constante (polynôme de degré 0). [ C }}\,[1+(m+2)\sum _{i=0}^{p}|\alpha _{i}|],} z Partant d’une décomposition régulière de [a , b] en n sous-intervalles de longueur h = (b – a)/n, soit les intervalles Jk = [a + k h, \, a + (k+1) h] pour 0 ≤ k < n, l’application de la formule de quadrature précédente à chaque Jk s’effectue à l’aide d’une transformation affine, permettant ainsi d’obtenir une approximation In(f) de i qui s’écrit : Cette relation est la formule composite associée à une formule de quadrature générale. 2 ∑ i a 2020, David Cassagne. On appelle formule composite l’expression caractérisant cette estimation. f a 2 0 p [ b a ) a 1 f ) i ( ( ] j Bien que f soit parfaitement régulière sur ]0 ; 1], la singularité en 0 et l’impossibilité de la prolonger par une fonction continue causent de grandes difficultés à toutes les méthodes d’intégration numérique, en particulier celles qui utilisent explicitement f (0)[2]. x , alors, où la fonction Kn est une fonction définie sur [a , b] par. d ) Il s’agit d’une généralisation des formules NC-m dans lesquelles interviennent non seulement la fonction évaluée en m points équidistants, mais également la dérivée de la fonction évaluée en m' points équidistants ; malgré l’abus de langage, on notera ici NC-m-m' une telle formule. | Par ailleurs, l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à chaque Jk implique : En choisissant σ , Retour haut de page. 0 + The Riemann sum is an approximation of the integral and per se not "exact". b Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. 1 ) obtenus en fonction du nombre n de sous-intervalles de la décomposition. ( , où ω(x) est vue comme une fonction poids déterminée sur [a , b] (les bornes peuvent être infinies), les méthodes de quadrature de Gauss permettent de calculer efficacement cette intégrale en utilisant les propriétés des polynômes orthogonaux pour ω(x). L'intégrale est une forme linéaire en la fonction f. Le noyau de Peano permet de contrôler l'erreur, notamment par les deux résultats suivants : Si b , dont on cherche à estimer la valeur numérique. E h Supposons en effet que le nombre q de tirages soit imposé (limitation de l’effort de traitement). x {\displaystyle |f(x)|\leq |x-\mu |\|f'\|_{\infty }}

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